Exercices - La table de vérité et la table de Karnaugh

Dans cette série d'exercices, nous allons apprendre à étudier et à simplifier des fonctions logiques combinatoires. Pour ce fait, nous allons utiliser les tables de vérité, les tables de Karnaugh ainsi que les portes logiques ainsi que les portes NAND.

Exercice 1 : Table de Karnaugh

La table de vérité ci-dessous détaille les différentes valeurs possibles des sorties $f1$, $f2$ et $f3$ en fonction des entrées $a$, $b$ et $c$ :

En application directe, simplifiez la fonction logique de chacune des sorties $f1$, $f2$ et $f3$ en utilisant des tables de Karnaugh.

Exercice 2 : Fonction à plusieurs variables

On considère la fonction $f(a, b, c, d)$ telle que :

• $f(a, b, c, d) = 1$ si les entrées du système logique sont égales à l'un des nombres suivants : 0, 1, 2, 3, 6, 11 ou 15,
• $f(a, b, c, d) = 0$ si les entrées du système logique sont différentes de 0, 1, 2, 3, 6, 11 et 15, et,
• $a$ représente le LSB et $d$ représente le MSB.

Pour ce système logique :

1. établissez la table de vérité de la fonction $f$,
2. représentez sa table de Karnaugh,
3. déterminez la fonction logique simplifiée $f$,
4. dessinez son diagramme logique,
5. créez une deuxième version de son diagramme logique en utilisant uniquement des portes NAND (la porte logique NON-ET).

Exercice 3 : Décodeur BCD vers un afficheur à 7 segments

Nous souhaitons afficher les mots binaires reçus codés en BCD sur un afficheur à 7 segments. Le mot binaire reçu est codé sur quatre bits $(d, c, b, a)$. Le schéma ci-dessous nous présente la disposition de chaque segment dans cet afficheur à 7 segments :

Pour concevoir le décodeur :

1. établissez la table de vérité de chaque sortie de l’afficheur.
2. créez le table de Karnaugh pour chaque fonction de sortie et retrouvez les expressions logiques simplifiées de chaque sortie.
3. écrivez la fonction $g$ avec le minimum de portes logiques NAND possibles.

Exercice 4 : Simplification de fonctions à quatre variables

Pour un système combinatoire, nous relevons la table de vérité ci-dessous :

Déterminez les fonctions logique $f1$ et $f2$ en fonction des entrées sont $a$, $b$, $c$ et $d$ en utilisant des tables de Karnaugh.

Correction : la table de vérité et la table de Karnaugh

La logique combinatoire, un rappel ? Une petite révision s'impose ? Nous vous mettons à disposition l'ensemble des cours ci-dessous. Ces cours complémentaires vous permettent de rafraîchir la mémoire et consolider vos connaissances : Le système binaire La logique binaire La logique combinatoire

Correction Exercice 1 : Table de Karnaugh

Pour déterminer les différentes fonctions logiques pour chaque sortie $f1$, $f2$ et $f3$ en fonction de $a$, $b$ et $c$ pour la table de vérité ci-dessous :

Nous allons développer la table de karnaugh pour chaque sortie $f1$, $f2$ et $f3$ telle que :

Table de Karnaugh de la sortie $f1$	Table de Karnaugh de la sortie $f2$	Table de karnaugh de la sortie $f3$

En respectant les groupements des différentes "1" dans chaque table de Karnaugh, nous pouvons écrire ainsi :

• $f1 = \overline{a} + \overline{b} \overline{c}$
• $f2 = \overline{a} + \overline{b}c + b\overline{c}$
• $f3 = \overline{a} \overline{b} + ab + \overline{c}$

Correction Exercice 2 : Fonction à plusieurs variables

En respectant les conditions booléennes qui vérifient :

• $f(a, b, c, d) = 1$ si les entrées du système logique sont égales à l'un des nombres suivants : 0, 1, 2, 3, 6, 11 ou 15,
• $f(a, b, c, d) = 0$ si les entrées du système logique sont différentes de 0, 1, 2, 3, 6, 11 et 15, et,
• $a$ représente le LSB et $d$ représente le MSB.

Nous pouvons dresser la table de vérité ci-dessous :

À partir de cette table de vérité, développons maintenant la table de Karnaugh :

Ce qui donne : $f = a \cdot b \cdot d+ \overline{c} \cdot \overline{d} + \overline{a} \cdot b \cdot \overline{d}$

Dessinons maintenant le diagramme logique de cette fonction. Pour cela, nous avons opté pour l'utilisation de la solution Ltspice pour modéliser le diagramme demandé :

Comme demandé, nous allons réécrire un deuxième diagramme en utilisant uniquement des portes NAND, nous allons réécrire les trois fonctions logiques requises NON, ET et OU en utilisant les lois De Morgan telles que :

• la fonction NON : $\overline{A\cdot A}=\overline A+\overline A=\overline A$.
• la fonction OU: $A + B =  \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$.
• la fonction ET : $A \cdot B =  \overline{\overline{A \cdot B}}$

Ainsi, pour réaliser :

• la fonction NON, nous allons relier les deux entrées de la porte logique NAND ensemble.
• la fonction OU, nous aurons besoin d'utiliser trois portes logiques NAND; deux pour inverser les entrées A et B et une pour inverser le résultat.
• la fonction ET, nous aurons besoin de deux portes logiques NAND; la deuxième inversera le résultat obtenu du résultat A NAND B.

Ce qui nous permet de modéliser les trois fonctions logiques avec des portes NAND comme suit :

Fonction logique NON	Fonction logique OU	Fonction logique ET

Ce qui nous donne ainsi le nouveau schéma ci-dessous :

Exercice 3 : Décodeur BCD vers un afficheur à 7 segments

Un afficheur à 7 segments dispose de sept segments nommés $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ et $g$. Pour afficher les différents mots binaires reçus codés en BCD et exprimés sur quatre bits $(d, c, b, a)$, nous pouvons écrire la table de vérité ci-dessous :

Dressons maintenant les sept tables de Karnaugh correspondant aux sorties $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ des sept segments de notre afficheur :

Table de Karnaugh du segment $a$	Table de Karnaugh du segment $b$	Table de Karnaugh du segment $c$
Table de Karnaugh du segment $d$	Table de Karnaugh du segment $e$	Table de Karnaugh du segment $f$
	Table de Karnaugh du segment $g$

Ce qui nous donne les équations suivantes :

• $a = d + b +\overline{a} \cdot \overline{c} + a \cdot c$
• $b = \overline{c} + d +\overline{a} \cdot \overline{b} + a \cdot b$
• $c = \overline{b} + d + c + a$
• $d = d + \overline{a} \cdot \overline{c} + a \cdot \overline{b} \cdot c + \overline{a} \cdot b + b \cdot \overline{c}$
• $e = \overline{a} \cdot \overline{c} + c \cdot d + \overline{a} \cdot b + b \cdot d$
• $f = d + \overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot c + \overline{b} \cdot c$
• $g = d + \overline{a} \cdot c + b \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot c$

Pour écrire la fonction $g$ uniquement avec des portes logiques NAND, nous allons remplacer les portes NON, ET et OU comme nous l'avons fait dans l'exercice précédent : 

• la fonction NON : $\overline{A\cdot A}=\overline A+\overline A=\overline A$.
• la fonction OU: $A + B =  \overline{overline{A} \cdot \overline{B}}$.
• la fonction ET : $A \cdot B =  \overline{\overline{A \cdot B}}$

Ce qui nous donne :

$$g = d + \overline{a} \cdot c + b \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot c$$

Ajoutons maintenant le double complément d'après le principe de l'involution:

$$g = \overline{\overline{d + \overline{a} \cdot c + b \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot c}}$$

Ensuite, on transforme la somme de produits (portes OU) sous la première barre en un produit de termes inverses d'après la loi de De Morgan :

$$g = \overline{\overline{d} \cdot \overline{\overline{a} \cdot c} \cdot \overline{b \cdot \overline{c}} \cdot \overline{\overline{b} \cdot c}}$$

Et enfin, regroupons les termes pour former des portes NAND (Non-ET) à deux entrées :

$$g = \overline{\overline{d \cdot d} \cdot \overline{\overline{a \cdot a} \cdot c} \cdot \overline{b \cdot \overline{c \cdot c}} \cdot \overline{\overline{b \cdot b} \cdot c}}$$

Correction exercice 4 : Simplification de fonctions à quatre variables

A partir de la table de vérité proposée dans l'énoncé de cet exercice ci-dessous, créons les deux tables de Karnaugh pour les deux fonctions $f1$ et $f2$ :

Développons les tables de Karnaugh pour les deux sorties $f1$ et $f2$ telles que :

Table de Karnaugh de la sortie $f1$	Table de Karnaugh de la sortie $f2$

Ce qui nous donne les deux équations logiques :

• $f1=\overline{a}\cdot\overline{c} +a\cdot\overline{b}\cdot d +a\cdot b\cdot c\cdot\overline{d} +\overline{a}\cdot\overline{b}\cdot\overline{d} +\overline{a}\cdot b\cdot d +\overline{b}\cdot\overline{c} +\overline{c}\cdot d$
• $f2=\overline{b}\cdot\overline{c}+c\cdot d+b\cdot c$

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Partir encore loin

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• La table de Karnaugh  : une série d'exercices avec correction.
• Les fonctions logiques (Calcul, Simplification et Analyse) : une série d'exercices avec correction.