Exercices - Les fonctions logiques (Calcul, Simplification et Analyse)

Exercice 1 : Simplification d'expression logique

Pour chacune des équations logiques ci-dessous, réécrivez-les dans leurs formes la plus simple :

• $a = \overline{a}c + b\overline{a}$
• $b = \overline{b}c + c\overline{d} + ab\overline{c}$
• $c = db + dc + a\overline{a}\overline{d} + \overline{a}\overline{b} + bde$
• $d = abd\overline{e} + ac\overline{e} + bc\overline{d} + a\overline{c}\overline{e} + \overline{c}\overline{d}$

Exercice 2 : fonctions logiques à simplifier

Pour chaque équation logique ci-dessous, donnez l'équation logique la plus simple possible :

• $a = b \oplus c + \overline{a \oplus b} + \overline{a \oplus c}$
• $b = \overline{a}cd + d\overline{e} + a(b + \overline{ce})$
• $c = ((a + \overline{b} + c) \cdot (\overline{ab} + \overline{cd}))$
• $d = \overline{\overline{a} + \overline{b} \cdot \overline{c}} + \overline{a} \cdot \overline{\overline{b} \cdot c} \cdot \overline{a \cdot b}$

Exercice 3 : Simplification et mise en forme de produit

Pour l'équation logique ci-dessous, simplifiez et mettez la sous forme de produit (factorisez là) :

$a = a(\overline{b} + d) + abc + b(c + d)$

Un petit rappel : les fonctions logiques Avant de commencer la correction de cette série d'exercices portant sur les fonctions logiques, nous vous invitons à réviser vos cours : Le système binaire La logique binaire La logique combinatoire

Correction de l'exercice 1 : simplification d'expression logique 

Pour chacune des équations logiques demandées ci-dessus, nous pouvons écrire :

Expression a

En analysant l'équation logique $a = \overline{a}c + b\overline{a}$, nous pouvons remarquer que nous pouvons factoriser en mettant en commun $\overline{a}$.

Ce qui nous donne :$$\boxed{\overline{a}c + b\overline{a} = \overline{a}\cdot(c + b)}$$

Expression b

En observant les différentes parties de cette équation logique $b = \overline{b}c + c\overline{d} + ab\overline{c}$, nous pouvons mettre en facteur la variable commune $c$ tout en conservant la dernière partie $ab\overline{c}$.

Ce qui nous donne la forme simplifiée ci-dessous puisque nous ne pouvons pas absrober $ab\overline{c}$ :$$\boxed{b = c\cdot(\overline{b} + \overline{d}) + ab\overline{c}}$$

Expression c

Pour l'équation logique $c = db + dc + a\overline{a}\overline{d} + \overline{a}\overline{b} + bde$, nous pouvons la simplifier en remaquant que :

• le terme $a\overline{a}\overline{d}$ contient $a\overline{a} = 0$, donc $0 \cdot \overline{d} = 0$ (le terme s'annule), et, 
• en regroupant $db$ et $bde$, on applique la règle d'absorption $db + bde = db(1 + e) = db$, et,

Ce qui nous permet d'écrire : $c = db + dc + \overline{a}\overline{b}$ dans un premier temps et en factorisant ensuite en mettant en commun $d$ dans $db + dc$ pour obtenir $d(b + c)$. Nous pouvons obtenir la forme finale de notre équation $c$ comme suit :$$\boxed{c = d\cdot(b + c) + \overline{a}\overline{b}}$$

Expression d

Pour l'équation logique $d = abd\overline{e} + ac\overline{e} + bc\overline{d} + a\overline{c}\overline{e} + \overline{c}\overline{d}$, nous pouvons commencer à la simplifier petit à petit comme suit :

• factorisons le $ac\overline{e} + a\overline{c}\overline{e}$ par $a\overline{e}$, ce qui nous donne $ac\overline{e} + a\overline{c}\overline{e} = a\overline{e}(c + \overline{c}) = a\overline{e} \cdot 1 = a\overline{e}$,
• ensuite absorbons le terme $abd\overline{e}$ par $a\overline{e}$ tel que $abd\overline{e} + a\overline{e} = a\overline{e}(bd + 1) = a\overline{e}$,

Ce qui nous permet d'écrire la forme intermédiaire de $d$ telle que : $d = a\overline{e} + bc\overline{d}+\overline{c}\overline{d}$

• maintenant, factorisons $bc\overline{d} + \overline{c}\overline{d}$ par $\overline{d}$ pour obtenir $bc\overline{d} + \overline{c}\overline{d} = \overline{d}(bc + \overline{c})$, et,
• enfin, utilisons la propriété d'absorption pour $bc + \overline{c} = b + \overline{c}$, on obtient : $\overline{d}(b + \overline{c}) = b\overline{d} + \overline{c}\overline{d}$.

Ce qui nous donne la forme finale suivante :$$\boxed{d = a\overline{e} + b\overline{d} + \overline{c}\overline{d}}$$

Correction de l'exercice 2 : fonctions logiques à simplifier

Dans la continuité de notre raisonnement, nous allons corriger ensemble ce deuxième exercice. Donc pour chaque équation ci-dessous, nous pouvons écrire :

Expression a

Un petit rappel, la fonction XOR logique Comme nous le remarquons, le symbole $\oplus$ est présent dans l'équation proposée à simplifier. Or ce symbole est le signe de la fonction logique XOR, ce qui nous laisse donc écrire : $b \oplus c = b\overline{c} + \overline{b}c$ $\overline{a \oplus b} = ab + \overline{a}\overline{b}$ $\overline{a \oplus c} = ac + \overline{a}\overline{c}$

La solution

Maintenant, en développant la fonction XOR dans l'équation $a = b \oplus c + \overline{a \oplus b} + \overline{a \oplus c}$, nous pouvons opérer comme suit :

$a = b\overline{c} + \overline{b}c + ab + \overline{a}\overline{b} + ac + \overline{a}\overline{c}$

Regroupons ensuite les différents termes en appliquant le principe de la commutativité tel que:

• $\overline{b}c + \overline{a}\overline{b} = \overline{b}(c + \overline{a})$
• $ab + ac = a(b + c)$

L'équation devient :

Expression b

En regardant l'équation $b = \overline{\overline{a}cd + d\overline{e}} + a(b + \overline{ce})$, nous pouvons écrire les étapes suivantes pour la simplifier :

1. développons le premier terme avec le théorème de De Morgan :
   $\overline{\overline{a}cd + d\overline{e}} = \overline{(\overline{a}cd)} \cdot \overline{(d\overline{e})} = (a + \overline{c} + \overline{d}) \cdot (\overline{d} + e)$
2. développons ensuite le produit $(\overline{d} + \overline{c} + a)(\overline{d} + e)$ :
   $\overline{d}\cdot\overline{d} + \overline{d}e + \overline{c}\overline{d} + \overline{c}e + a\overline{d} + ae = \overline{d} + \overline{c}e + ae$ (grâce à l'absorption par la variable $\overline{d}$)
3. puis développons le second terme :
   $a(b + \overline{ce}) = ab + a\overline{c} + a\overline{e}$ (d'après De Morgan $\overline{ce} = \overline{c} + \overline{e}$)
4. faisons maintenant la somme globale des termes :
   $b = \overline{d} + \overline{c}e + ae + ab + a\overline{c} + a\overline{e}$
5. et simplifions les termes avec $a$ (d'après le principe de la complémentarité) :
   $ae + a\overline{e} = a(e + \overline{e}) = a$
   puis $a + ab + a\overline{c} = a$ (absorption par $a$)
6. Ce qui nous donne finalement $b = \overline{d} + \overline{c}e + a$

Ainsi, l'équation finale simplifiée sera comme suit :$$\boxed{b = a + \overline{d} + \overline{c}\cdot e}$$

Expression c

En analysant l'équation $c = (a + \overline{b} + c) \cdot (\overline{ab} + \overline{cd})$, nous pouvons écrire les étapes suivantes :

1. appliquons le théorème de De Morgan sur le second facteur :
   $\overline{ab} = \overline{a} + \overline{b}$
   $\overline{cd} = \overline{c} + \overline{d}$
   donc : $(\overline{ab} + \overline{cd}) = \overline{a} + \overline{b} + \overline{c} + \overline{d}$
2. puis distribuons les termes $(a + \overline{b} + c) \cdot (\overline{a} + \overline{b} + \overline{c} + \overline{d})$ :
   $\overline{b}$ apparaît dans les deux sommes, donc en appliquant la distributivité et l'absorption : $\overline{b} + (a + c)(\overline{a} + \overline{c} + \overline{d})$
3. ensuite développons $(a + c)(\overline{a} + \overline{c} + \overline{d})$ comme suit :
   $a\overline{a} + a\overline{c} + a\overline{d} + c\overline{a} + c\overline{c} + c\overline{d} = a\overline{c} + a\overline{d} + \overline{a}c + c\overline{d}$ ($a\overline{a} = 0$ et $c\overline{c} = 0$)
4. et finalement, regroupons avec $\overline{b}$ :
   $\overline{b} + a\overline{c} + a\overline{d} + \overline{a}c + c\overline{d}$

Ce qui nous donne l'équation finale simplifiée :$$\boxed{c = \overline{b} + a\overline{c} + a\overline{d} + \overline{a}c + c\overline{d}}$$

Expression d

En analysant l'équation $d = \overline{\overline{a} + \overline{b} \cdot \overline{c}} + \overline{a} \cdot \overline{\overline{b} \cdot c} \cdot \overline{a \cdot b}$ les étapes suivantes :

1. simplifions le premier terme $\overline{\overline{a} + \overline{b} \cdot \overline{c}}$ (en appliquant le théorème De Morgan) :
   $\overline{\overline{a}} \cdot \overline{(\overline{b}\overline{c})} = a \cdot (b + c) = ab + ac$
2. simplifions ensuite le second terme $\overline{a} \cdot \overline{\overline{b} \cdot c} \cdot \overline{a \cdot b}$ tel que : $\overline{a \cdot b} = \overline{a} + \overline{b}$ comme il y a un facteur $\overline{a}$ devant : $\overline{a} \cdot (\overline{a} + \overline{b}) = \overline{a}$
   puis $\overline{\overline{b} \cdot c} = b + \overline{c}$. Ce qui nous donne pour le second terme : $\overline{a}(b + \overline{c}) = \overline{a}b + \overline{a}\overline{c}$
3. additionnons maintenant les deux parties simplifiées de notre équation puis regroupons en mettant le facteur en commun : $$d = ab + ac + \overline{a}b + \overline{a}\overline{c} = ac + \overline{a}\overline{c} + ab + \overline{a}b = ac + \overline{a}\overline{c} + b$$

Ce qui nous donne l'équation finale simplifiée :$$\boxed{d = b + ac + \overline{a}\overline{c}}$$

Correction de l'exercice 3 : Simplification et mise en forme de produit

Pour répondre à la question de l'exercice, nous allons simplifier l'équation logique pour retrouver sa forme minimale puis factoriser ce qu'on peut mettre en commun. Pour rappel, notre équation logique est la suivante :

$a = a(\overline{b} + d) + abc + b(c + d)$

Pour commencer, développons les parenthèses pour obtenir la forme développée de notre équation telle que :

$a = a\overline{b} + ad + abc + bc + bd$

En appliquant le principe de l'absorption, nous pouvons l'appliquer sur $bc + abc$ ce qui nous donne $bc(1+a) = bc$. Ainsi $a$ devient :

$a = a\overline{b} + ad + bc + bd$

Maintenant, factorisons une partie de l'équation obtenue ci-dessous en mettant la variable $d$ en commun :

$ad + bd = d(a+b)$

Ce qui nous donne finalement :$$\boxed{a = a\overline{b} + bc + d \cdot (a+b)}$$

Aller encore plus loin

Pour compléter cette fiche d'exercice, nous vous proposons une deuxième fiche d'exercice portant sur les fonctions logiques :

• Les fonctions logiques (Exercices)