Le théorème de Millman

Principe du théorème de Millman

Le théorème de Millman s'applique généralement à un circuit électrique constitué de plusieurs branches parallèles. Il permet de déterminer la valeur de la tension dans un nœud n si la valeur V de la différence de potentiel V_i de chaque nœud de l'autre extrémité de chacune des branches de conducteur ohmique connectées à ce nœud. En d'autres termes, le théorème de Millman permet d'écrire le potentiel d'un nœud donné en fonction des autres potentiels de notre circuit. Cette théorie reste valable pour les courants alternatifs sinusoïdaux comme pour les courants continus.

La formule mathématique pour calculer la valeur V sera donc comme suit :

\[ V = \frac{\sum{\frac{V_{i}}{R_{i}} } }{\sum{\frac{1}{R_{i}}}} \]

En effectuant quelques ajustements sur cette expression et en appliquant le théorème de Millman, le potentiel V s'exprime ainsi :

\[ V = \frac{(V_{1}/R_{1})+(V_{2}/R_{2})+(V_{3}/R_{3})+(V_{4}/R_{4})+(V_{5}/R_{5})}{(1/R_{1})+(1/R_{2})+(1/R_{3})+(1/R_{4})+(1/R_{5})} \]

Exemple d'application 

Ce théorème s'applique à tout circuit électrique composé de plusieurs branches montées en parallèle, chaque branche disposant de sa propre source de tension et d'au moins un composant électrique linéaire passif, comme une résistance. Les applications les plus courantes de ce théorème sont les convertisseurs de tension, les mélangeurs de tensions, les circuits à ampli AOP (Amplification Opérationel) et certains types de filtres passif RC (les filtres RC sont des filtres simples composés d'une résistance et d'un condensateur), etc.

Comme exemple d'application, prenons le mélangeur de tensions comme exercice. Le schéma ci-dessous le détaille: 

En appliquant ce théorème, nous obtenons U_AB telle que : \[ U_{AB} = \frac{\frac{E_{1}}{R_{1}} + \frac{E_{2}}{R_{2}}}{\frac{1}{R_{1}}+ \frac{1}{R_{2}}} \]

Et si R₁ = R et R₂ = 2R la tension U_AB sera égale à : \[ U_{AB} = \frac{\frac{E_{1}}{R} + \frac{E_{2}}{2R}}{\frac{1}{R}+ \frac{1}{2R}} = \frac{2 E_{1} + E_{2}}{3} = \frac{ {2}}{3}E_{1} + \frac{ {1}}{3}E_{2}\]

En conclusion, la tension U_AB sera composée des deux sources de tensions \( E_{1}\) et \( E_{2}\) telle que \( \frac{2}{3} E_{1}\) et \( \frac{1}{3} E_{2}\) soit une pondération à \( (\frac{2}{3},\frac{1}{3}) \)