Les lois de Kirchhoff

Les lois de Kirchhoff sont des principes fondamentaux qui permettent d'évaluer la variation de l'intensité du courant électrique et de la différence de potentiel dans un circuit électrique. Elles sont au nombre de deux, proposé par le physicien allemand Gustav Kirchhoff;  la loi des mailles qui traite les tension et la loi des nœuds qui concerne les courants.

La loi des nœuds

Cette loi est valable uniquement aux circuits électriques qui disposent d'au moins un nœud. D'ailleurs, dans un circuit composé uniquement de composants branchés entre-eux en série, cette loi n'est plus valide puisque ce circuit ne présente aucun nœud.

C'est quoi un nœud ?

Un nœud dans un circuit électrique est un point de rencontre de 2 ou plusieurs fils électriques permettant de :

• répartir le un courant électrique en plusieurs branches,
• sommer plusieurs branches en une seule pour former un courant unique.

Autrement dit, il s'agit tout simplement d'un point de connexion où plusieurs fils électriques se rejoignent.

Définition

D'après Kirchhoff, la loi des nœuds précise que la somme des intensités des courants entrants dans un nœud est toujours égale à la somme des intensités des courants sortants. Le schéma ci-dessous modélise un cas de figure : 

Avec :

• I₁ : intensité du courant entrant au niveau le fil 1
• I₂ : intensité du courant entrant au niveau fil 2
• I₃ : intensité du courant sortant qui est égale, par application directe de la loi des nœuds, à la somme des deux courants entrant I₁ et I₂ à ce nœud.

En appliquant ce principe de la somme des courants entrants égale à la somme des courants sortants pour ce schéma, le courant sortant I₃ sera  exprimé en fonction des deux autres courants entrants comme suit :

\[ I_{3} = I_{1} + I_{2} \]

Ainsi, nous écrivons comme suit la formule mathématique pour cette telle que :

\[ \sum{I_{entrants}} = \sum{I_{sortants}} \]

Exemple pratique : Application de la loi des nœuds

Dans un circuit électronique alimenté par une source \(U_{E1} \) nous délivrons un courant électrique \( I = 100\ mA \).  Arrivons au A, ce courant se divise en deux pour parcourir les deux branches telles que :

• un courant \(I_1 \) alimente une résistance \(R_1 \),
• un courant \(I_2 \) alimente une diode LED qui consomme d'une valeur de 30mA.

Le schéma ci-après nous présente cela :

Validons maintenant la loi des nœuds étape par étape. Pour cela, déterminons le courant \( I_2 \) qui traverse la résistance \( R_1 \).

Étape 1 : Calculons le courant \( I_2 \)

D'après la loi des nœuds, expliquée dans ce cours, la somme des courants entrants dans le nœud A est égale à la somme des courants sortants du même nœuds. Ce qui nous permet d'écrire :

\( I_{entrant} = I_{LED} + I_R \) soit donc d'après notre schéma \( I = I_1 + I_2 \)

En remplaçant maintenant les différentes valeurs connues des courants électriques, nous pouvons écrire :

\[ 100\ mA = 30\ mA + I_1 \]

Ce qui nous donne \( I_1 \) une fois nous isolons ce courant \( I_1 = 100\ mA - 30\ mA = 70\ mA \)

Donc, le courant qui traverse la résistance \( R_1 \) est d'une valeur \( I_R = 70 mA \)

Étape 2 : Vérification de la loi des nœuds

Pour le point B, nous pouvons aussi appliquer cette loi et nous pouvons écrire :

\( I_{LED} + I_R = I_{sortant}  \) soit donc d'après notre schéma \( I_1 + I_2 = I \)

Ce qui nous donne : \( 70\ mA + 30\ mA = 100\ mA \)

La loi des nœuds est vérifiée, les courants entrants et sortants sont égaux.

La loi des mailles

La loi des mailles et la loi qui s'inétresse aux tensions électriques et dont la somme algébrique des toutes les tensions dans une boucle fermée est nulle telle que :

\[ \sum{U_{i}} = 0 \]

C'est quoi une maille ?

Dans le cas d'un circuit électrique composé de plusieurs dérivations, une maille représente une boucle ou un chemin d'un circuit électrique fermée composée d'au moins deux composants.

Définition

La loi des mailles dit qu'un chemin électrique fermé, composé de plusieurs composants, c'est à dire un parcours qui part d'un point et revient à ce même point sans coupure (circuit fermé), représente une maille dont la somme des tensions électriques est toujours égale à 0.

En application directe de cette loi, regardons le ce schéma proposé ci-dessous et en appliquant la loi de Kirchhoff aux deux mailles 1 et 2 (maille 1 et maille 2 comme modélisées dans le schéma ci-dessous).

Pour la maille 1, suivant le sens de la flèche, on peut énumérer les tensions pour ce schéma électrique ci-dessus comme suit :

\[ U_{R4} + U_{R1} +U_{R2} + U_{C1} - U_{E1} = 0 \]

ce qui nous donne

\[ U_{E1} = U_{R4} + U_{R1} +U_{R2} + U_{C1} \]

Et en appliquant de la même manière la loi des nœuds sur la maille 2. La formule ci-dessous sera déduite :

\[ U_{C1} - U_{R3} = 0\enspace ce\enspace qui\enspace donne\enspace U_{C1} = U_{R3} \]

Exemple pratique : Application de la loi des mailles

Une source d'alimentation de \(U_{E1} \) = 12V alimente deux résistances montées en série d'une valeur respective :

• \( R_1 \) = 100 Ω
• \( R_2 \) = 200 Ω

Le schéma ci-dessous nous explique ce montage :

Validons maintenant la loi des mailles étape par étape :

Étape 1 : Determinons le courant \( I \)

Dans un premier temps, nous pouvons simplifier notre montage en calculant la valeur de la résistance équivalente puisque nous avons deux résistances en série, ce qui nous donne : \( R_{eq}=R_1+R_2=100+200=300\ Ω \).

Pour déterminer la valeur du courant qui traverse notre circuit, observons notre montage. D'après la loi d'Ohm, nous pouvons calculer la valeur du courant \( I \) comme suit :

\[ I = \frac{U}{R_{eq}} = \frac{12}{300} = 0,04\ A \]

Soit donc : \( I = 40\ mA \).

Étape 2 : La tension aux bornes de chaque résistance

Pour déterminer la valeur de la tension \( U \) aux bornes de chaque résistance, appelée aussi la chute de tension, nous allons appliquer la loi d'Ohm telle que \( U =  R \times I \) pour \( R_1 \) et \( R_2 \). Ce qui nous donne :

• \( R_1 \) : \( U_{R1} = R_1 \times I \) soit donc \( U_{R1} = 100 \times 0,04 = 4\ V \)
• \( R_2 \) : \( U_{R2} = R_2 \times I \) soit donc \( U_{R2} = 200 \times 0,04 = 8\ V \)

Étape 3 : Vérifions ensemble la loi des mailles

La loi des mailles stipule que la somme algébrique des tensions dans une boucle fermée est nulle. Or d'après notre schéma, nous pouvons écrire pour la maille 1 l'équation suivante :

\[ U_{E1} - U_{R1} - U_{R2} = 0 \]

Ou encore : \( U_{E1} = U_{R1} + U_{R2} \) soit donc 12V = 4V + 8V

Donc la loi des mailles est vérifiée puisqu'en partant de la borne négative de notre source d'alimentation, nous pouvons écrire :

• la tension augmente de 12 V en traversant la source, 
• puis elle diminue de 4 V dans \( R_1 \),
• puis elle diminue de 8 V dans \( R_2 \) ,
• et enfin, elle retrouve le même potentiel électrique que celui du point de départ.

Application des lois de Kirchhoff

Les deux lois des nœuds et des mailles sont l'un des piliers de la compréhension de l'électricité. Nous pouvons vous citer quelques exemples où ces lois s'appliquent:

• la détermination des différentes composantes électriques; courants, tensions inconnus dans n'importe quel type de réseau électrique.
• dans l'analyse et la résolution des courants des tensions dans les circuits en série, en parallèle et mixtes.
• la conception et l'analyse des systèmes électriques.
• dans certains calculs comme le calcul, par exemple, de des résistances.
• etc.

Exercice d'application

Pour mieux comprendre ces deux théories, nous vous proposons quelques exercices de réflexion et d'application directe : Application des lois de Kirchhoff La loi des mailles (le pont diviseur de tension)