Le théorème de superposition

Le principe de la superposition

Le théorème de superposition permet d'étudier un circuit composé de n générateurs en le décomposant en plusieurs sous-circuits alimentés par une seule source chacun. Cette simplification permet de calculer la contribution de chaque source d'énergie (générateur électrique) dans le circuit. On obtient donc un courant résultant de la somme des différents courants générés par chaque générateur isolé dans notre circuit.

Comment appliquer le théorème de superposition ?

Comme le démontre le schéma ci-dessus, pour déterminer la valeur du courant I_R4, nous appliquons le théorème de superposition telle que :

• on éteint le générateur E₁ et on calcule le courant I₁ après avoir déterminé la résistance R_eq1 équivalente à partir de R₂, R₃ et R₄
• on éteint ensuite le générateur E₂ et on estime l'intensité du courant I₂ après avoir déterminé la résistance R_eq2 équivalente à partir de R₁, R₃ et R₄
• ensuite, on appliquera la loi des nœuds pour calculer le courant I_R4 telle que : \[ I_{R4} = I_{1} + I_{2} \]

Ce théorème s'applique à tout réseau électrique comprenant au moins deux sources d'énergie connectées à un ou plusieurs composants passifs, tels que des résistances, des condensateurs ou des inductances, etc. Dans ce principe, cette résolution sera appliquée pour tout circuit ayant au moins deux sources de tensions ou de courants connectées à un ou plusieurs conducteurs ohmiques.

Quand appliquer le théorème de superposition ?

Le théorème de superposition est généralement utilisé pour convertir n'importe quel circuit complexe en un circuit modélisé simple tout en superposant les n sous-circuits créés par l'extinction succéssive des sources d'énergie. Le théorème de Norton ou le théorème de Thevenin seront donc appliqués pour déterminer la valeur E_TH de notre générateur de tension ou I_n de notre source de courant ainsi que la valeur ohmique de notre charge R_n

Application directe (Exemple)

Pour mieux comprendre ce théorème et l’appliquer directement, prenons comme exemple le circuit électrique ci-dessous :

Comme on peut le voir sur le schéma ci-dessus, le circuit comporte deux sources d’alimentation. Calculons le courant \( I_{R3} \) qui traverse la résistance \( R_3 \)

Pour cela, nous allons appliquer le théorème de superposition. Donc, le courant \( I_{R3} \) sera la somme des deux courants \( I1_{R3} \) et \( I2_{R3} \) calculés respectivement à partir des deux sous-circuits (soit chaque sous-circuit est un circuit électrique alimenté par un seul générateur). Calculons ainsi ces deux courants.

Pour commencer, nous allons éteindre le 2^ème générateur et déterminer le courant \( I1_{R3} \) qui traverse la résistance \( R_3 \). Le schéma ci-dessous nous présente ce premier sous-circuit alimenté par un seul générateur :

D'après notre schéma, et en appliquant la loi d’Ohm aux bornes des deux résistances \( R_3 \) et \( R_2 \), nous pouvons écrire :

\[ I1_{R3} = \frac{U_{AB}}{R_3} \]

et

\[ I_{R2} = \frac{U_{AB}}{R_2} \]

D'après la loi des noeuds, nous pouvons écrire pour le noeud B :

\[ I_1=I1_{R3}+I_{R2} \]

Ce qui nous donne (1) :

\[ I_1 = \frac{U_{AB}}{R_3} + \frac{U_{AB}}{R_2}  = U_{AB}\left(\frac1{R_3}+\frac1{R_2}\right) \]

Maintenant, regardons la branche avec le générateur \( E_1 \) et écrivons de nouveau la tension \( U_{AB} \) :

\[U_{AB}=E_1-I_1(R_1+r_1) \]

Et en remplaçons \( I_1 \) calculé dans (1), nous pouvons écrire \( U_{AB}  \) telle que (2) :

\[ U_{AB} = E_1 - (R_1+r_1)\, U_{AB} \left( \frac1{R_3}+\frac1{R_2} \right) \]

Regroupons maintenant et simplifions notre équation (3)

\[ U_{AB} + (R_1+r_1)\, U_{AB} \left( \frac1{R_3}+\frac1{R_2} \right) = E_1 \]

\[ U_{AB} \left[ 1+ (R_1+r_1) \left( \frac1{R_3}+\frac1{R_2} \right) \right] = E_1 \]

\[U_{AB} = \frac{E_1}{ 1+ (R_1+r_1) \left( \frac1{R_3}+\frac1{R_2} \right) } \]

Dét'erminons maintenant la valeur \( I1_{R3} \) demandée qui traverse la résistance \( R_3 \)  d'après la loi d'Ohm appliquée aux deux points A et B.

Comme nous l'avons écrit ci-dessus, \( I1_{R3} = \frac{U_{AB}}{R_3} \), ce qui nous donne donc en remplaçant \( U_{AB} \) dans l'équation (3) :

\[ I1_{R3} = \frac1{R_3} \cdot \frac{E_1}{ 1+ (R_1+r_1) \left( \frac1{R_3}+\frac1{R_2} \right) } \]

Ce qui nous donne après une réécritue du résultat la valeur \( I1_{R3} \) :

\[ I1_{R3}  = I_3 = \frac{E_1}{ R_3\left[ 1+ \frac{R_1+r_1}{R_3} + \frac{R_1+r_1}{R_2} \right]} \]

Maintenant, faisons le même calcul pour le deuxième sous-circuit ci-dessous :

En appliquant la même démonstration pour calculer le courant \( I1_{R3} \), nous allons écrire \( I2_{R3} \) telle que : 

\[ I2_{R3}  = \frac{E_2}{ R_3\left[ 1+ \frac{R_2+r_2}{R_3} + \frac{R_2+r_2}{R_1} \right] } \]

Et d'après le théorème de la superposition, nous aurons finalement \( I_3 = I1_{R3}  + I2_{R3} \) soit donc :

\[ I_3 = I1_{R3}  + I2_{R3} \]

\[ = \frac{E_1}{ R_3\left[ 1+ \frac{R_1+r_1}{R_3} + \frac{R_1+r_1}{R_2} \right]} + \frac{E_2}{ R_3\left[ 1+ \frac{R_2+r_2}{R_3} + \frac{R_2+r_2}{R_1} \right] } \]