Application du théorème de Millman
Le théorème de Millman permet de déterminer une tension dans un nœud $V$ connecté à plusieurs branches en parallèle est donnée par :
$$ V = \frac{\sum{\frac{E_i}{R_i}}}{\sum{\frac{1}{R_i}}}$$
où $E_i$ et $R_i$ représentent respectivement la tension et la résistance de chaque branche connecté à ce nœud $V$
Vous trouverez les corrections détaillées accompagnées de toutes les explications, en bas de cette page.
Enoncé de l'exercice
Considérons le circuit suivant composé de trois sources d'alimentations montées en parallèle avec une résistance commune de charge $R_c$.
- Le première source a une tension $V_1 = 10V$ et une résistance interne $R_1 = 10Ω$.
- Le deuxième source a une tension $V_2 = 7V$ et une résistance interne $R_2 = 22Ω$.
- Le troisième source a une tension $V_3 = 25V$ et une résistance interne $R_3 = 20Ω$.
La résistance de charge $R_c = 55Ω$
Questions:
- Calculez la tension $V_{AB}$ aux bornes de la résistance de charge $R_{c} $ en utilisant le théorème de Millman.
- Déterminez le courant $I_{c}$ traversant cette résistance de charge $R_{c}$.
- Vérifiez vos résultats en calculant le courant traversant chaque générateur, puis appliquez la loi des nœuds pour vérifier le résultat précédemment obtenu.
Correction de l'exercice 1
En utilisant la solution Ltspice, nous pouvons modéliser l'exercice ci-dessus de cette manière :
1. En applicant le théorème de Millman, nous pouvons écrire la tension $V_{AB}$ comme suit:
$$ V_{AB} = \frac{\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + \frac{V_3}{R_3} + \frac{V_4}{R_C}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_c}} = \frac{\frac{10}{10} + \frac{7}{22} + \frac{25}{20} + \frac{0}{55}}{\frac{1}{10} + \frac{1}{22} + \frac{1}{20} + \frac{1}{55}}$$
$$ V_{AB} = \frac{\frac{10}{10} + \frac{7}{22} + \frac{25}{20}}{\frac{1}{10} + \frac{1}{22} + \frac{1}{20} + \frac{1}{55}} = \frac{2.568181818}{0.213636364}$$
$$ V_{AB} = 12.02V$$
Comme vous le remarquez, nous avons modélisé la branche de la résistance de charge $R_c$ qui constitue une branche avec source de tension nulle soit donc $V_4 = 0$.
2. Comme le stipule la loi d'Ohm, $I = \frac{U}{R}$, nous pouvons calculer $I_c$ telle que:
$$ I_{c} = \frac{12.02}{55} = 0.21856A = 218.56 mA$$
3. Calculons maintenant le courant pour chaque branche telle que :
- $I_1 = \frac{V_1 - V_{AB}}{R_1} \Rightarrow I_1 = \frac{10 - 12.02}{10} = -0.202128A = -202.128mA$ (1)
- $I_1 = \frac{V_2 - V_{AB}}{R_2} \Rightarrow I_2 = \frac{7 - 12.02}{22} = -0.228240A = -228.240mA$ (2)
- $I_1 = \frac{V_3 - V_{AB}}{R_3} \Rightarrow I_2 = \frac{25 - 12.02}{20} = 0.648936A = 648.936mA$ (2)
Or $I_c = I_1 + I_2 + I_3$ ce qui donne $I_c = (-202.128) + (-228.240) + 648.936 = 218.569mA$
Ainsi, nous nretrouvons la même valeur calculé dans l'étape précedente en appliquant le théorème de Millman.
 |