La table de Karnaugh - Exercices

Simplifiez les équations logiques des fonctions représentées à partir des tables de Karnaugh remplies ci-dessous :

Table de Karnaugh 1

Pour la table ci-dessous, déterminez la fonction logique simplifiée en fonction des variables a, b et c :

Table de Karnaugh 2

Pour la table ci-dessous, déterminez la fonction logique simplifiée en fonction des variables a, b et c :

Table de Karnaugh 3

Pour la table ci-dessous, écrivez la fonction logique simplifiée en fonction des variables a, b et c :

Table de Karnaugh 4

Pour la table ci-dessous, écrivez la fonction logique simplifiée en fonction des variables a, b et c :

Table de Karnaugh 5

Pour la table ci-dessous, retrouvez la fonction logique simplifiée en fonction des variables a, b et c :

Table de Karnaugh 6

Pour la table ci-dessous, retrouvez la fonction logique simplifiée en fonction des variables a, b, c et d :

Solution des différentes tables de Karnaugh

La table de Karnaugh, c'est quoi ? La table de Karnaugh est une solution graphique qui permet de simplifier une expression logique compliquée à partir de sa table de vérité. Pour rappel, nous détaillons dans notre cours la logique combinatoire comment utiliser une table de Karnaugh et simplifier des expressions logiques compliquées, section La table de Karnaugh : La logique combinatoire

Correction de la table de Karnaugh 1 :

Pour la première table proposée, nous pouvons procéder comme suit :

• étape 1 : regroupez les deux "1" situés horizontalement, ce qui nous donne : \( \overline{a} \cdot b \)

• étape 2 : regroupez les deux "1" situés verticalement, ce qui nous donne : \( \overline{a} \cdot b + b \cdot \overline{c} \)

Ce qui nous donne l'équation simplifiée suivante pour cette première table de Karnaugh : \( S = \overline{a} \cdot b + b \cdot \overline{c} \)

Correction de la table de Karnaugh 2 :

Pour cette deuxième table proposée, nous remarquons que nous pouvons faire 3 groupements de deux "1" tels que :

• étape 1 : regroupez les deux "1" situés verticalement à gauche, ce qui nous donne : \( \overline{b} \cdot c \)

• étape 2 : regroupez ensuite les deux "1" situés horizontalement à droite du premier groupement, ce qui nous donne : \( \overline{b} \cdot c + \overline{a} \cdot b \)

• étape 3 : et comme vous le constatez, il reste encore un dernier "1" libre, regroupez donc le avec le "1" situé au-dessus, ce qui nous donne : \( \overline{b} \cdot c + \overline{a} \cdot b + b \cdot \overline{c} \)

Ainsi, nous aurons l'équation simplifiée suivante pour cette deuxième table : \( S = \overline{b} \cdot c + \overline{a} \cdot b + b \cdot \overline{c} \)

Si vous souhaitez appliquer maintenant la distributivité à l'équation déterminée ci-dessus, vous pouvez écrire le résultat sous cette forme : \( S = \overline{b} \cdot c + b \cdot (\overline{a} + \overline{c}) \)

Et comme vous pouvez le remarquer, nous constatons la présence de la fonction OU Exclusif dans ce résultat. Ce qui nous permet d'écrire aussi \( S = \overline{a} \cdot b + b \oplus c \)

Nous notons également que nous pouvons écrire l'équation simplifiée autrement si nous faisons le groupement horizontal différemment dans l'étape 2 telle que : 

Ce qui nous permet donc d'otenir l'équation optimale suivante : \( S = \overline{b} \cdot c + \overline{a} \cdot c + b \cdot \overline{c} \)

Et en appliquant le principe de la distributivité, nous pouvons l'écrire aussi comme suit : \( S = b \cdot \overline{c} + c \cdot (\overline{b} + \overline{a} ) \)

Et dans le même principe, comme vous pouvez le remarquer, nous retrouvons encore une fois la fonction OU Exclusif dans ce deuxième résultat. Ce qui nous permet d'écrire aussi \( S = \overline{a} \cdot c + b \oplus c \)

Correction de la table de Karnaugh 3 :

Pour cette table proposée, nous allons opérer comme suit :

• étape 1 : regroupez les deux "1" situés horizontalement à gauche en bas de la table demandée, ce qui nous donne : \( a \cdot \overline{b} \)

• étape 2 : regroupez ensuite les deux "1" situés horizontalement au milieu de la table, ce qui nous donne : \( a \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot c \)

• étape 3 : et enfin regroupez les deux "1" situés verticalement à la droite de notre table, ce qui nous donne : \( a \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot c + b \cdot  \overline{c} \)

Ainsi, nous aurons l'équation simplifiée suivante : \( S = a \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot c + b \cdot  \overline{c} \)

Correction de la table de Karnaugh 4 :

Pour cette quatrième table, nous pouvons remarquer que nous avons déjà un groupement de quatre "1", ce qui nous mène à la travailler différemment. Pour ce fait, nous allons simplifier l'équation de cette manière :

• étape 1 : regroupez les quatre cases de valeur "1" situées au centre de notre table, ce qui nous donne : \( S =  c \)

• étape 2 : ajoutez maintenant un groupement de deux "1" situés en haut à gauche de notre table, ce qui nous donne : \( S =  c + \overline{a} \cdot b \)

Ainsi, notre équation simplifiée sera : \( S =  c + \overline{a} \cdot b \)

Correction de la table de Karnaugh 5 :

Pour la table numéro 5 de Karnaugh, nous procéderons de la manière suivante :

• étape 1 : regroupez les deux "1" situés dans la deuxième ligne horizontale de cette table, ce qui nous donne : \( \overline{a} \cdot b \)

• étape 2 : regroupez ensuite les deux "1" situés verticalement dans la colonne à droite de la table, ce qui nous donne : \( \overline{a} \cdot b + c \)

• étape 3 : et finalement regroupez les deux "1" situés horizontalement à la ligne tout en bas de notre table, ce qui nous donne : \( \overline{a} \cdot b + c + a \cdot  \overline{b} \)

D'où, l'équation simplifiée de cette table numéro 5 sera : \( S = \overline{a} \cdot b + c + a \cdot  \overline{b} \)

Or \( S = \overline{a} \cdot b + a \cdot  \overline{b} \) est un OU Exclusif, appelée aussi XOR, donc nonc nous pouvons écrire notre équation encore sous cette forme : \( S = a \oplus b + c \)

Correction de la table de Karnaugh 6 :

Pour la dernière table de karnaugh demandée à simplifier de dimensions 4 x 4, nous remarquons que nous pouvons créer trois groupements de quatre "1"; deux groupement de 2 x 2 et un groupements de 1 x 4, ce qui nous mène à retrouver facilement une partie de notre équation simplifiée telle que :

• étape 1 : regroupons les trois groupements de quatre cases de valeur "1" situées à droite de notre table, ce qui nous donne : \( S =  b \cdot \overline{c} + a \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot d \)

• étape 2 : ajoutez maintenant un groupement de deux "1" situés en haut à gauche de notre table, ce qui nous donne : \( S = b \cdot \overline{c} + a \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot d + \overline{a} \cdot  \overline{b} \cdot c \)

• étape 3 : ajoutez maintenant le dernier groupement de valeur "1" situé dans la dernière colonne de cette table, ce qui nous donne : \( S = b \cdot \overline{c} + a \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot d + \overline{a} \cdot  \overline{b} \cdot c + c \cdot \overline{d} \)

Ainsi, l'équation simplifiée de cette dernière table sera donc : \( S = b \cdot \overline{c} + a \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot d + \overline{a} \cdot  \overline{b} \cdot c + c \cdot \overline{d} \)

Vous pouvez également réaliser des simplifications d'écriture en appliquant le principe de la distributivité ou même mettre en place la fonction logique OU Exclusif pour ce résultat. On vous laisse vous entraîner et retrouver le résultat par vous-même ?

Comme pour la table numéro 2 de Karnaugh, nous avons la possibilité de l'optimiser différemment cette table et d'écrire une équation simplifiée autrement si nous faisons un groupement horizontal différemment dans l'étape 2 tels que : 

Ce qui va nous permettre de retrouver une équation légèrement différente de celle déterminée dans l'étape 3 précédemment : \( S = b \cdot \overline{c} + a \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot d + \overline{a} \cdot  \overline{b} \cdot d + c \cdot \overline{d} \). Il est à noter que ces deux résultats restent valides et donnent le même résultat logique souhaité.

Outil Electro & Robot Pour vérifier vos équations logiques, vous pouvez utiliser notre résolveur de table de Karnaugh mis en ligne pour vous aider à résoudre les tables les plus compliquées : Table de Karnaugh en ligne