Les Théorèmes de Thévenin et Norton

Exercice 1 : le théorème de Thévenin à vide

On considère le circuit électrique ci-dessous composé d'une source de tension continue 15V montée en série avec deux résistances $R_1$ et $R_2$ :

Questions :

1. Calculer la tension de Thévenin V_Th.
2. Calculer la résistance de Thévenin R_Th.
3. Modéliser le générateur équivalent de Thévenin.

Exercice 2 : le théorème de Thévenin avec charge

Maintenant, prenons le générateur de Thévenin que nous avons modélisé dans l'exercice 1 et ajoutons à ce générateur une charge, que nous appelons $R_L$ d'une valeur de 10Ω

Questions :

1. Calculer le courant $i_R$ qui traverse cette charge $R_L$.
2. Calculer la tension aux bornes de la charge $R_L$.
3. Vérifier la tension aux bornes de la charge $R_L$ en appliquant le principe du diviseur de tension que la tension aux bornes de la charge est la même retrouvée avec le générateur de Thévenin.

Exercice 3 : le théorème de Norton

On considère le circuit électrique ci-dessous composé d'une source de tension continue 15V montée en série avec deux résistances $R_1$ et $R_2$ :

Questions :

1. Déterminer le courant de Norton I_N.
2. Déterminer la résistance de Norton R_N.
3. Dessiner le générateur équivalent.

Exercice 4 : la conversion entre Thévenin et Norton

Considérons le générateur de Thévenin ci-dessous disposant d'une tension $V_Th$ = 22V et d'une résistance $R_Th$ = 8 Ω :

Questions :

1. Déterminer le générateur de Norton.
2. Vérifier l'équivalence.

Correction de l'exercice 1

Pour calculer la tension de Thévenin $V_{Th}$ et la valeur de la résistance Thévenin $R_{Th}$, appliquons la loi des mailles pour retrouver la valeur du courant $I$ qui circule dans ce montage. Pour cela, nous allons mettre en place une seule maille comme nous le démontre le dessin ci-dessous : Ainsi, en appliquant la loi des mailles, nous pouvons écrire pour la maille 1 l'équation suivante : $U_{E1} -  U_{R1} - U_{R2} = 0$ ⇒ $U_{E1} =  U_{R1} + U_{R2}$  (1) Et en appliquant la loi d'Ohm aux bornes des deux résistances $R_1$ et $R_2$ telles que : $U_{R1} = I \cdot R_1$ et $U_{R2} = I \cdot R_2$ (2) Nous pouvons conclure des deux équations (1) et (2) la valeur du courant $I$ qui circule comme suit : $I = U_{E1} / (R_1 + R_2) = 15 / (10 + 18) = 0.53A$ Une fois que nous avons retrouvé la valeur du courant qui circule dans notre circuit, nous pouvons déterminer maintenant les deux valeurs $V_{Th}$ et $R_{Th}$ comme suit :

• $V_{Th} = R_2 \cdot I = 18 \cdot 0.53 = 9.54V$
• $R_{Th}$ est la valeur de la résistance équivalente qui résulte de $R_1$ // $R_2$ soit donc $R_{Th} = (10 × 18) / (10 + 18) = 6.42Ω$

Et le nouveau générateur équivalent Thévenin de ce schéma sera ainsi comme ci-dessous :

Correction de l'exercice 2

Prenons maintenant le générateur équivalent Thévenin que nous avons modélisé dans l'exercice précédent à partir du schéma proposé et ajoutons-le une résistance entre les deux points A et B appelée $R_L$. Le schéma ci-dessous nous présente cela :

Comme demandé, calculons le courant $i_R$ qui traverse cette charge $R_L$. Pour cela, nous allons appliquer la loi des mailles comme nous l'avons fait durant l'exercice 1 pour ce nouveau schéma électrique. 

A ce starde, nous pouvons écrire pour l'unique maille de ce schéma l'équation suivante : $E_{TH} -  U_{R_{TH}} - U_{R_L} = 0$ ⇒ $E_{TH} =  U_{R_{TH}} + U_{R_L}$  (1) Et en appliquant la loi d'Ohm pour les deux résistances $R_1$ et $R_2$, nous aurons ces deux équations que nous allons les remplacer dans l'équation (1) par la suite : $U_{R_{TH}} = I \cdot R_{TH}$ et $U_{R_L} = I \cdot R_L$ (2) Ce qui nous donne un courant $I$ d'une valeur : $I = U_{E_{TH}} / (R_{TH} + R_L) = 9.54 / (6.24 + 10) = 0.587A$

Et en appliquant encore une fois la loi d'Ohm aux bornes de la résistance $R_L$, nous pouvons déterminre la valeur de la tension aux bornes de la charge $R_L$ telle que :

$$U_{R_L} = R_L \cdot I = 10 \cdot 0.587 = 5.87V$$

Appliquant maintenant le principe du diviseur de tension aux bornes de la charge $R_L$. La valeur de la tension $U_{UR_L}$ sera donc :

$$U_{R_L} = E_{TH} \cdot \frac{R_L}{R_L + R_{TH}} = 9.54 \cdot \frac{10}{6.24+10} = 5.87V$$

Ainsi, nous retrouvons la même valeur $U_{R_L}$ et nous confirmons qu'on met en place un générateur de Thévenin, nous simplifions nos calculs.

Correction de l'exercice 3

Pour déterminer la valeur du courant de Norton $I_N$, nous devons court-circuiter les deux bornes A et B avant comme nous le démontre le schéma ci-dessous :

Maintenant, à partir de la maille 1, qui se situe dans la partie gauche de notre schéma, nous pouvons écrire l'équation suivante :

$E_1 -  U1 = 0$ ⇒ $E1 =  U_1$  (1)

Et suivant la loi d'Ohm aux bornes de la résistance $R_1$, nous aurons : $U_{R_1} = I_N \cdot R_1$ (2) Ce qui nous donne en remplaçant l'équation (2) dans la première : $E_1 =  I_N \cdot R_1$ ⇒ $I_N = \frac{E_1}{R_1} = \frac{7}{100} = 0.07A$ Et la valeur de la résistance $R_N$, elle sera la valeur de la résistance équivalente de notre circuit. Soit donc la résistance équivalente des deux résistances $R_1$ // $R_2$. Ce qui vaut :   $\frac {1}{R_N} = \frac {1}{R_1} + \frac {1}{R_2} $ ⇒ $R_N =  \frac {(R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$   Ce qui nous donne : $R_N = \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{100 \cdot 220}{100 + 220 } = 66.66Ω$   Et le générateur de Norton équivalent à notre schéma de base sera donc comme ci-dessous :

Correction de l'exercice 4

Pour déterminer la valeur du courant de Norton équivalent, relions les deux points A et B puis calculons la valeur de ce courant $I_N$ qui circule :

$I_N = \frac{T_{TH}}{R_{TH}}$ ce qui nous donne $I_N = \frac{20}{8}  = 2.5A$

et la valeur de la résistance de Norton équivaut à la valeur de la résistance de Thévenin puisque ce circuit n'intègre aucune autre résistance montée en série avec $R_TH$. Ce qui nous donne donc :

$$R_N = R_{TH} = 8Ω$$

Maintenant pour vérifier si les deux générateurs sont équivalents, nous allons procéder comme suit :

1. ajouter une charge $R_L$ d'une valeur de 8Ω aux bornes du générateur de Thévenin.
2. calculer la tension $U_{R_L}$ aux bornes de la charge de la charge $R_L$, ensuite
3. pour le même générateur équivalent norton, nous allons calculer la tension aux bornes $U_{R_L}$  aux bornes de la charge de la charge $R_L$.

Générateur de Thévenin

Pour ce premier générateur, nous pouvons écrire une valeur équivalente de la résistance totale des deux $R_{TH}$ en série avec $R_L$ :

$$R_{eq} = R_{TH} + R_L = 8 + 8= 16Ω$$

Calculons maintenant le courant qui circule dans notre seule maille :

$$I = \frac{V_{TH}}{R_{eq}} = \frac{20}{16} = 1.25A$$

Et finalement la tension aux bornes de la charge $R_L$ sera donc :

$$U_L=R_L\cdot I = 8 \cdot 1.25 = 10V$$

Générateur de Norton

Maintenant, faisons le même calcul mais avec le générateur de Norton au point A, le courant fourni par le générateur $I_N$ sera divisé vers les deux résistances $R_L$ et $R_N$ que nous trouvons montées en parallèle cette fois-ci. Ce qui nous donne d'après le diviseur de tension :

$$I_{RL}​=I_N​ \cdot \frac{R_L}{R_L + ​R_N}​​ = 2.5 \cdot \frac{8}{8+ 8} = 1.25A$$

Ce qui nous donne la tension aux bornes de la résistance $R_L$ sera égale à $U_{R_L} = R_L \cdot I_{R_L}​= 8 \cdot 1.25 = 10V$

Conclusion

Nous retrouvons la même valeur $U_{R_L }$ pour les deux générateurs Thévenin et Norton. Ce qui nous confirme qu'un même circuit peut être modélisé de deux façons différentes.