Les Théorèmes de Thévenin et Norton

Pour calculer la tension de Thévenin \(V_{Th}\) et la valeur de la résistance Thévenin \( R_{Th} \), appliquons la loi des mailles pour retrouver la valeur du courant \( I\) qui circule dans ce montage. Pour cela, nous allons mettre en place une seule maille comme nous le démontre le dessin ci-dessous :

 

Ainsi, en appliquant la loi des mailles, nous pouvons écrire pour la maille 1 l'équation suivante :

 

\( U_{E1} -  U_{R1} - U_{R2} = 0 \) ⇒ \( U_{E1} =  U_{R1} + U_{R2} \)  (1)

 

Et en appliquant la loi d'Ohm aux bornes des deux résistances \( R_1 \) et \( R_2\) telles que :

 

\( U_{R1} = I \cdot R_1 \) et \( U_{R2} = I \cdot R_2 \) (2)

 

Nous pouvons conclure des deux équations (1) et (2) la valeur du courant \( I \) qui circule comme suit :

 

\( I = U_{E1} / (R_1 + R_2) = 15 / (10 + 18) = 0.53A \)

 

Une fois que nous avons retrouvé la valeur du courant qui circule dans notre circuit, nous pouvons déterminer maintenant les deux valeurs \( V_{Th} \) et \( R_{Th} \) comme suit :

A ce starde, nous pouvons écrire pour l'unique maille de ce schéma l'équation suivante :

 

\( E_{TH} -  U_{R_{TH}} - U_{R_L} = 0 \) ⇒ \( E_{TH} =  U_{R_{TH}} + U_{R_L} \)  (1)

 

Et en appliquant la loi d'Ohm pour les deux résistances \( R_1 \) et \( R_2\), nous aurons ces deux équations que nous allons les remplacer dans l'équation (1) par la suite :

 

\( U_{R_{TH}} = I \cdot R_{TH} \) et \( U_{R_L} = I \cdot R_L \) (2)

 

Ce qui nous donne un courant \( I \) d'une valeur :

 

\( I = U_{E_{TH}} / (R_{TH} + R_L) = 9.54 / (6.24 + 10) = 0.587A \)

Et suivant la loi d'Ohm aux bornes de la résistance \( R_1 \), nous aurons :

 

\( U_{R_1} = I_N \cdot R_1 \) (2)

 

Ce qui nous donne en remplaçant l'équation (2) dans la première :

 

\( E_1 =  I_N \cdot R_1 \) ⇒ \( I_N = \frac{E_1}{R_1} = \frac{7}{100} = 0.07A \)

 

Et la valeur de la résistance \( R_N \), elle sera la valeur de la résistance équivalente de notre circuit. Soit donc la résistance équivalente des deux résistances \( R_1 \) // \( R_2 \). Ce qui vaut :

 

\( \frac {1}{R_N} = \frac {1}{R_1} + \frac {1}{R_2}  \) ⇒ \( R_N =  \frac {(R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \)

 

Ce qui nous donne : \( R_N = \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{100 \cdot 220}{100 + 220 } = 66.66Ω\)

 

Et le générateur de Norton équivalent à notre schéma de base sera donc comme ci-dessous :

Correction de l'exercice 4

Pour déterminer la valeur du courant de Norton équivalent, relions les deux points A et B puis calculons la valeur de ce courant \( I_N \) qui circule :

\( I_N = \frac{T_{TH}}{R_{TH}} \) ce qui nous donne \( I_N = \frac{20}{8}  = 2.5A\)

et la valeur de la résistance de Norton équivaut à la valeur de la résistance de Thévenin puisque ce circuit n'intègre aucune autre résistance montée en série avec \(R_TH \). Ce qui nous donne donc :

\( R_N = R_{TH} = 8Ω \)

Maintenant pour vérifier si les deux générateurs sont équivalents, nous allons procéder comme suit :

1. ajouter une charge \( R_L \) d'une valeur de 8Ω aux bornes du générateur de Thévenin.
2. calculer la tension \( U_{R_L} \) aux bornes de la charge de la charge \( R_L \), ensuite
3. pour le même générateur équivalent norton, nous allons calculer la tension aux bornes \( U_{R_L} \)  aux bornes de la charge de la charge \( R_L \).

Générateur de Thévenin

Pour ce premier générateur, nous pouvons écrire une valeur équivalente de la résistance totale des deux \( R_{TH} \) en série avec \( R_L \) :

\( R_{eq} = R_{TH} + R_L = 8 + 8= 16Ω \)

Calculons maintenant le courant qui circule dans notre seule maille :

\[ I = \frac{V_{TH}}{R_{eq}} = \frac{20}{16} = 1.25A \]

Et finalement la tension aux bornes de la charge \( R_L \) sera donc :

\[ U_L=R_L\cdot I = 8 \cdot 1.25 = 10V \]

Générateur de Norton

Maintenant, faisons le même calcul mais avec le générateur de Norton au point A, le courant fourni par le générateur \( I_N \) sera divisé vers les deux résistances \( R_L \) et \(R_N \) que nous trouvons montées en parallèle cette fois-ci. Ce qui nous donne d'après le diviseur de tension :

\[I_{RL}​=I_N​ \cdot \frac{R_L}{R_L + ​R_N}​​ = 2.5 \cdot \frac{8}{8+ 8} = 1.25A \]

Ce qui nous donne la tension aux bornes de la résistance \( R_L \) sera égale à \( U_{R_L} = R_L \cdot I_{R_L}​= 8 \cdot 1.25 = 10V \)

Conclusion

Nous retrouvons la même valeur \( U_{R_L } \) pour les deux générateurs Thévenin et Norton. Ce qui nous confirme qu'un même circuit peut être modélisé de deux façons différentes.