La loi des mailles

Enoncé de l'exercice

Pour le schéma ci-dessous, déterminez les deux formules des deux tensions U_R1 et U_R2 des deux résistances respectivement R₁ et R₂ en fonction des autres éléments du circuit électrique qui le composent.

Application directe de l'exercice : loi des mailles

Pour les valeurs ci-dessous, calculez les deux valeurs des tensions aux bornes des deux résistances R₁ et R₂ :

• \( R_{1} = 1K Ω \)
• \( R_{2} = 1K Ω \)
• \( E_{1} = 5V \)

Que remarquez-vous ?

Correction de l'exercice : la loi des mailles

Afin de déterminer les deux valeurs des deux tensions aux bornes des deux résistances R₁ et R₂, nous allons nommer les 3 points situés entre les deux extrémités de chacune des deux résistances qui constituent notre schéma. L'image ci-dessous vous explique cela : 

Maintenant, en appliquant la loi des mailles, écrivons la formule de notre seule maille en fonction des différentes tensions électriques :

\[ U_{E1} - U_{AC} - U_{BA} = 0 \]

soit donc

\[ U_{E1} = U_{AC} + U_{BA} = U_{BA} + U_{AC} \]

Or l'ensemble des composants constituant notre circuit sont parcouru par le même courant électrique que nous nommons I₁ 

D'après la loi d'Ohm, nous pouvons donc exprimer pour chaque résistance la tension aux bornes de chaque composant en fonction de ce courant I1 et de la valeur de la résistance telle que:

• \( U_{BA} = U_{R_{1}} = R_{1} \cdot I_{1} \) soit aussi \( I_{1} = \frac {U_{R_{1}}}{R_{1}} \)
• \( U_{AC} = U_{R_{2}} = R_{2} \cdot I_{1} \) et \( I_{2} = \frac {U_{R_{2}}}{R_{2}} \)

Pour déterminer la formule de la valeur \( U_{BA} \) en fonction des autres éléments de notre circuit, nous pouvons écrire dans un premier temps :

\[ U_{E1} = U_{BA} + R_{2} \cdot I_{1} \]

Or \( I_{1} \) est le même courant qui traverse la deuxième résistance, donc on peut écrire \( U_{E1} = U_{BA} + R_{2} \cdot \frac {U_{R_{1}}}{R_{1}} = U_{BA} + R_{2} \cdot \frac {U_{BA}}{R_{1}} \)

\( U_{E1} = U_{BA} \cdot (1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} ) =  U_{BA} \cdot (\frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}} ) \)

Ce qui nous donne finalement  aux bornes de la résistance R₁ : \( U_{R_{1}} = U_{R_{BA}} =  U_{E1} \cdot \frac{R_{1}}{( R_{1}+R_{2} )}\)

Dans le même principe de raisonnement, pour retrouver la formule de la valeur \( U_{AC} \) en fonction des autres éléments de notre circuit, nous pouvons écrire dans un premier temps :

\[ U_{E1} = R_{1} \cdot I_{1} + U_{AC} \]

Or \( I_{1} \) est le même courant qui traverse la première résistance, donc on peut écrire \( U_{E1} = U_{AC} + R_{1} \cdot \frac {U_{R_{2}}}{R_{2}} = U_{AC} + R_{1} \cdot \frac {U_{AC}}{R_{2}} \)

\( U_{E1} = U_{AC} \cdot (1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} ) =  U_{AC} \cdot (\frac{R_{1} + R_{2}}{R_{2}} ) \)

Ce qui nous donne finalement aux bornes de la résistance R₂ : \( U_{R_{2}} = U_{R_{AC}} =  U_{E1} \cdot \frac{R_{2}}{( R_{1}+R_{2} )}\)

Application directe de l'exercice : loi des mailles (Correction)

Pour les valeurs proposées ci-dessous :

• \( R_{1} = 1K Ω \)
• \( R_{2} = 1K Ω \)
• \( E_{1} = 5V \)

Nous pouvons écrire :

• \( U_{R_{1}} = 5 \cdot \frac{1000}{( 1000 +1000 )} = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5V\)
• \( U_{R_{2}} = 5 \cdot \frac{1000}{( 1000 +1000 )} = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5V\)

Nous remarquons ainsi que ce montage nous a permis de diviser la tension aux bornes de nos deux résistances à la moitié (parceque nous avons R₁ = R₂ = 1000Ω).

A noter également que la valeur de la tension de sortie de notre montage (soit la tension \( U_{AB} = U_{R_{1}} \) aux bornes de la résistance R₁ pour la modélisation ci-dessous) est toujours une valeur inférieure à la valeur à l'entrée de notre montage; soit la tension U_E1. Ce rapport entre la tension de sortie et la tension à l'entrée de ce montage est une fonction des deux résistances qui le forment R₁ et R₂.

En conclusion, ce montage s'appelle un diviseur de tension.