Exercices - La logique combinatoire
Dans cette série d'exercices, nous allons réviser ensemble la simplification des équations logiques en application directe des différentes formules étudiées dans notre cours de la logique combinatoire.
Exercice 1 : Simplification algébrique par mise en facteur
Simplifiez les expressions logiques suivantes :
- \( a + a \cdot b \)
- \( a \cdot b + a \cdot b \cdot c \)
- \( a \cdot b + a \cdot c + c \)
Exercice 2 : Simplification algébrique par multiplication par 1 ou par le complément
Simplifiez les expressions logiques suivantes :
- \(1 + a \)
- \( b + c \cdot \bar{c} \)
- \( b \cdot c \cdot d + c \cdot \bar{b} \cdot d \)
Exercice 3 : Simplification algébrique après développement de l'équation
Simplifiez les expressions logiques suivantes :
- \( (\bar{b} + a) \cdot (b + a) \)
- \( (a + \bar{b}) \cdot (a + c) \)
- \( (c + \bar{c}) \cdot (a + c) \)
 |
Correction de l'exercice 1 : Simplification algébrique par mise en facteur
La correction des différentes équations logiques demandées est la suivante :
- \( a + a \cdot b = a \dot (1 + b) = a\) puisque \(1 + b = 1 \) quel que soit la valeur logique du \( b \) d'après la théorie de la neutralité.
- \( a \cdot b + a \cdot b \cdot c = ab \cdot (1 + c) = a \cdot b \) quel que soit la valeur logique du \( c \).
- \( a \cdot b + a \cdot c + c = a \cdot b + c \cdot ( a + 1) = a \cdot b + c \), la même théorie est appliquée ici.
Correction de l'exercice 2 : Simplification algébrique par multiplication par 1 ou par le complément
Pour la liste proposée, vous trouverez ci-après la correction de ces équations logiques demandées :
- \(1 + a = 1\). Nous appliquons simplement la théorie de la neutralité pour cette équation logique. Quel que soit la valeur de la variable \( a \), l'équation est toujours égale à la valeur binaire 1.
- \( b + c \cdot \bar{c} = b\). Pour cette équation, nous allons appliquer la théorie de la complémentarité pour la fonction logique ET. En effet, \( c \cdot \bar{c} = 0\), quel que soit la valeur de la variable \( c \).
- \( b \cdot c \cdot d + c \cdot \bar{b} \cdot d = cd \cdot (b + \bar{b} ) = c \cdot d\). La complémentarité en logique pour la fonction OU donne toujours une valeur logique 1 quel que soit la valeur de la variable b. Ce qui nous donne \( b + \bar{b} = 1\).
Coorection de l'exercice 3 : Simplification algébrique après développement de l'équation
Vous trouverez ci-après la correction détaillée des équations logiques à simplifier :
- \( (\bar{b} + a) \cdot (b + a) = \bar{b} \cdot b + \bar{b} \cdot a + a \cdot b + a \cdot a = 1 + a \cdot (\bar{b} + b) + a \)
Or \( \bar{b} \cdot b = 1\) et \( \bar{b} + b = 1\) d'après la théorie de la complémentarité,
De plus, nous avons \( a \cdot a = a\) d'après la théorie de l'idempotence.
Ce qui nous donne \( (\bar{b} + a) \cdot (b + a) = 1 + a + a = 1 + a \) puisque \( a + a = a\) d'après le principe de l'idempotence pour la fonction logique OU.
Et ainsi, si nous appliquons le principe de l'élément absorbant, nous pouvons écrire \( (\bar{b} + a) \cdot (b + a) = 1 \) quel que soit les valeurs logiques des variables \( a,\; b,\; c\; et\; d \).
- \( (a + \bar{b}) \cdot (a + c) = a \cdot a + a \cdot c + \bar{b} \cdot a + \bar{b} \cdot c = a + a \cdot (\bar{b} + c ) + \bar{b} \cdot c = a \cdot (1+ (\bar{b} + c )) + \bar{b} \cdot c = a + \bar{b} \cdot c \)
puisque \( a \cdot a = a\) d'après la théorie de l'idempotence et \( 1+ (\bar{b} + c ) = 1 \) d'après le principe de l'élément absorbant.
- \( (c + \bar{c}) \cdot (a + c) = c \cdot a + c \cdot c + \bar{c} \cdot a + \bar{c} \cdot c = c \cdot a + c + \bar{c} \cdot a + 0 = c (a + 1) + \bar{c} \cdot a = c + \bar{c} \cdot a \)
puisque \( c \cdot \bar{c} = 0\) d'après le principe de la complémentarité, \( c \cdot c = c \) d'après le principe de l'idempotence pour la fonction logique OU et \( (a + 1)= 1\) d'après le principe de l'élément neutre.