Exercices - La logique combinatoire
Dans cette série d'exercices, nous allons réviser ensemble la simplification des équations logiques en application directe des différentes formules étudiées dans notre cours de la logique combinatoire.
Exercice 1 : Simplification algébrique par mise en facteur
Simplifiez les expressions logiques suivantes :
- $a + a \cdot b$
- $a \cdot b + a \cdot b \cdot c$
- $a \cdot b + a \cdot c + c$
Exercice 2 : Simplification algébrique par multiplication par 1 ou par le complément
Simplifiez les expressions logiques suivantes :
- $1 + a$
- $b + c \cdot \bar{c}$
- $b \cdot c \cdot d + c \cdot \bar{b} \cdot d$
Exercice 3 : Simplification algébrique après développement de l'équation
Simplifiez les expressions logiques suivantes :
- $(\bar{b} + a) \cdot (b + a)$
- $(a + \bar{b}) \cdot (a + c)$
- $(c + \bar{c}) \cdot (a + c)$
La correction : la logique combinatoire
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Correction de l'exercice 1 : Simplification algébrique par mise en facteur
La correction des différentes équations logiques demandées est la suivante :
- $a + a \cdot b = a \dot (1 + b) = a$ puisque $1 + b = 1$ quel que soit la valeur logique du $b$ d'après la théorie de la neutralité.
- $a \cdot b + a \cdot b \cdot c = ab \cdot (1 + c) = a \cdot b$ quel que soit la valeur logique du $c$.
- $a \cdot b + a \cdot c + c = a \cdot b + c \cdot ( a + 1) = a \cdot b + c$, la même théorie est appliquée ici.
Correction de l'exercice 2 : Simplification algébrique par multiplication par 1 ou par le complément
Pour la liste proposée, vous trouverez ci-après la correction de ces équations logiques demandées :
- $1 + a = 1$. Nous appliquons simplement la théorie de la neutralité pour cette équation logique. Quel que soit la valeur de la variable $a$, l'équation est toujours égale à la valeur binaire 1.
- $b + c \cdot \bar{c} = b$. Pour cette équation, nous allons appliquer la théorie de la complémentarité pour la fonction logique ET. En effet, $c \cdot \bar{c} = 0$, quel que soit la valeur de la variable $c$.
- $b \cdot c \cdot d + c \cdot \bar{b} \cdot d = cd \cdot (b + \bar{b} ) = c \cdot d$. La complémentarité en logique pour la fonction OU donne toujours une valeur logique 1 quel que soit la valeur de la variable b. Ce qui nous donne $b + \bar{b} = 1$.
Coorection de l'exercice 3 : Simplification algébrique après développement de l'équation
Vous trouverez ci-après la correction détaillée des équations logiques à simplifier :
- $(\bar{b} + a) \cdot (b + a) = \bar{b} \cdot b + \bar{b} \cdot a + a \cdot b + a \cdot a = 1 + a \cdot (\bar{b} + b) + a$
Or $\bar{b} \cdot b = 1$ et $\bar{b} + b = 1$ d'après la théorie de la complémentarité,
De plus, nous avons $a \cdot a = a$ d'après la théorie de l'idempotence.
Ce qui nous donne $(\bar{b} + a) \cdot (b + a) = 1 + a + a = 1 + a$ puisque $a + a = a$ d'après le principe de l'idempotence pour la fonction logique OU.
Et ainsi, si nous appliquons le principe de l'élément absorbant, nous pouvons écrire $(\bar{b} + a) \cdot (b + a) = 1$ quel que soit les valeurs logiques des variables $a,\; b,\; c\; et\; d$.
- $(a + \bar{b}) \cdot (a + c) = a \cdot a + a \cdot c + \bar{b} \cdot a + \bar{b} \cdot c = a + a \cdot (\bar{b} + c ) + \bar{b} \cdot c = a \cdot (1+ (\bar{b} + c )) + \bar{b} \cdot c = a + \bar{b} \cdot c$
puisque $a \cdot a = a$ d'après la théorie de l'idempotence et $1+ (\bar{b} + c ) = 1$ d'après le principe de l'élément absorbant.
- $(c + \bar{c}) \cdot (a + c) = c \cdot a + c \cdot c + \bar{c} \cdot a + \bar{c} \cdot c = c \cdot a + c + \bar{c} \cdot a + 0 = c (a + 1) + \bar{c} \cdot a = c + \bar{c} \cdot a$
puisque $c \cdot \bar{c} = 0$ d'après le principe de la complémentarité, $c \cdot c = c$ d'après le principe de l'idempotence pour la fonction logique OU et $(a + 1)= 1$ d'après le principe de l'élément neutre.