Exercices - Les bases de la numération

Exercice 1 : passage en base 8

Pour chacune des valeurs exprimées dans leurs systèmes de numération respectifs, effectuez la conversion afin de l’exprimer en base 8 :

1. $(188)_{10}$
2. $(286)_{10}$
3. $(8FA)_{16}$
4. $(5ACD)_{16}$

Exercice 2 : passage en base décimale

Pour chaque mot binaire, décimal ou hexadécimal ci-dessous; transcodez le dans le système de numération à base de 10:

1. $(101001)_2$
2. $(10100101101)_2$
3. $(1010110100)_2$
4. $(101)_8$
5. $(1FD)_{16}$
6. $(9A)_{16}$
7. $(A1DD)_{16}$

Exercice 3 : passage en binaire

Ecrivez en binaire pur les nombres ci-dessous :

1. $(AEFF0)_{16}$
2. $(8AC)_{16}$
3. $(1AB0)_{16}$
4. $(2710)_{10}$
5. $(1901)_{10}$

Exercice 4 : écriture en notation signée

Écrire chacune des valeurs suivantes comme un nombre signé de 8 bits dans la notation en complément à 2 :

1. $+87$
2. $+34$
3. $-17$
4. $-55$

Exercice 5 : expression décimale de nombres signés

Chacun des nombres binaires signés que voici est exprimé dans la notation en complément à 2. Déterminez leur équivalent décimal :

1. $10100111$
2. $1000110$
3. $0111001$
4. $1011001$

Correction : Les bases de la numération

Exercice 1 : passage en base 8

Pour convertir chaque valeur exprimée dans son système de numération d’origine, vers le système octal, soit le système en base de 8, nous devons effectuer un transcodage. Pour cela, nous allons convertir vers le système décimal (base 10) comme système intermédiaire si le système d'origine ne l'est pas et ensuite convertir vers le système octal. Ainsi, la conversion se fera en deux étapes :

$$Système d’origine \Rightarrow Base 10 \Rightarrow Base 8$$

Nous pouvons donc écrire :

1. Pour ce nombre $(188)_{10}$, nous allons chercher directement les restes de la division euclidienne successives par 8 tel que :

Ce qui nous donne ainsi : $(188)_{10} = (274)_{8}$ (le sens de la lecture est à respecter pour trouver la bonne valeur)

2. Pour ce deuxième nombre $(286)_{10}$, nous allons chercher directement les restes de la division euclidienne successives par 8 tel que :

Ce qui nous donne ainsi : $(286)_{10} = (436)_{8}$

3. Ensuite, nous devons convertir la valeur exprimé dans le système hexadécimal $(8FA)$ vers le système décimal avant de pouvoir chercher sa valeur dans le système octal. Cette procédure est appelée le transcodage.

Procédons ainsi : $(8FA)_{16} = (8 \cdot 16^2 + 15 \cdot 16^1 + 10 \cdot 8^0)_{10} = (2048 + 240 + 10)_{10} = (2298)_{10}$

Ensuite, nous réalisons les divisions eucliennes nécessaires pour retrouver la valeur correspondante dans le système octal demandé :

Ce qui donne : $(8FA)_{16} = (4372)_8$

4. Et pour convertir ce dernier mot hexadécimal, nous allons procéder de la même manière que celle appliquée précédemment :

$$(5ACD)_{16} = (5 \cdot 16^3 + 10 \cdot 16^2 + 12 \cdot 16^1 + 13 \cdot 16^0)_{10} = (5 \cdot 4096 + 10 \cdot 256 + 12 \cdot 16 + 13)_{10} = (20480 + 2560 + 192 + 13)_{10} = (23245)_{10}$$

Ce qui nous laisse ensuite réaliser :

Et en suivant le sens de la lecture, nous aurons ainsi : $(5ACD)_{16} = (55315)_8$

Une petite astuce aussi à appliquer en cas de besoin : pour convertir un nombre de la base 16 vers la base 8, vous pouvez aussi utiliser le système binaire comme un système intermédiaire tel que :

1. vous remplacez dans un premier temps chaque symbole hexadécimal par son équivalent strict sur 4 bits (4 digits).
2. ensuite, vous regroupez l'ensemble des bits obtenus par paquets de 3 depuis la droite,
3. puis vous convertissez chaque triplet vers son équivalent dans le système octal.

Pour mieux comprendre cela, nous allons appliquer cette méthode sur le dernier nombre hexadécimal $(5ACD)_{16}$ :

Ainsi, nous retrouvons la même valeur en base de 8 : $(55315)_{8}$

Exercice 2 : passage en base 10 (soit le système décimal)

Pour convertir chaque mot binaire, octal ou hexadécimal vers le système à base de 10 (le système décimal), nous utilisons le principe de la décomposition selon les puissances de 2, 8 ou 16.

Rappel : pour le système hexadécimal, on utilise 16 symboles de 0, 1, 2, ..., 9 et A, B, C, D, E, F tel que chaque chiffre hexadécimal a la valeur décimale suivante :

• A = 10,
• B = 11,
• C = 12,
• D = 13,
• E = 14,et,
• F = 15.

Calculons maintenant les différentes valeurs demandées tel que:

1. $(101001)_2 = (1 \times 2^5 + 0 \times 2^4+ 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0)_{10} = (32 + 8+1)_{10} = (41)_{10}$
2. $(10100101101)_2 = (1 \times 2^{10} + 0 \times 2^9 + 1 \times 2^8 + 0 \times 2^7 + 0 \times 2^6 + 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0)_{10} = (1024 + 256 + 32 + 8 + 4 + 1)_{10} =(1325)_{10}$
3. $(1010110100)_2 = (1 \times 2^9 + 0 \times 2^8 + 1 \times 2^7 + 0 \times 2^6 + 1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0)_{10} = (512 + 128 + 32 + 16 + 4)_{10} =(692)_{10}$
4. $(101)_8 = (1 \times 8^2 + 0 \times 8^1 + 1 \times 8^0)_{10} = (64+ 1)_{10} = (65)_{10}$
5. $(1FD)_{16} = (1 \times 16^2 + 15 \times 16^1 + 13 \times 16^0)_{10} = (256+240+13)_{10} = (509)_{10}$
6. $(9A)_{16} = (9 \times 16^1 + 10 \times 16^0)_{10} = (144+10)_{10} = (154)_{10}$
7. $(A1DD)_{16} = (10 \times 16^3 + 1 \times 16^2 + 13 \times 16^1 + 13 \times 16^0)_{10} = (40960+ 256+208+13)_{10} = (41437)_{10}$

Exercice 3 : passage en binaire

Dans cette exercice, nous allons convertir des nombres exprimés dans le système hexadécimal vers le système binaire et dans le système décimal vers le système binaire. Pour cela, nous allons opérer comme suit :

1. du système hexadécimal vers le système décimal, nous allons réécrire chaque symbome du nombre hexadécimal par son équivalent strict sur 4 bits (digits), et,
2.  du système décimal vers le système binaire, nous utiliser la méthode calssique des divisions successives par 2.

Appliquons maintenant respectivement la méthodologie requise pour déterminer la valeur respective en binaire de chaque nombre écrit ci-dessous :

1. Pour le nombre $(AEFF0)_{16}$ exprimé dans le système hexadécimal, nous pouvons écrire : 

Ainsi, nous pouvons écrire : $(AEFF0)_{16} = (10101110111111110000)_{2}$

2. Pour ce deuxième nombre hexadécimal : $(8AC)_{16}$, nous pouvons réaliser cette conversion en appliquant la même méthode :

Ce qui nous donne : $(8AC)_{16} = (100010101100)_{2}$

3. On continu dans la meme stratégie de conversion pour $(1AB0)_{16}$ :

Ainsi le résulat finale sera : $(1AB0)_{16} = (1101010110000)_{2}$

4. Pour convertir ce nombre exprimé dans le système décimal $(2710)_{10}$, nous allons faire la méthode calssique des divisions successives par 2. Ce qui nous donne :

Ce qui donne : $(2710)_{10} = (101010010110)_{2}$

5. De manière analogue à la dernière conversion expliquée, nous pouvons établir l’expression suivante pour $(1901)_{10}$ :

Ce qui donne : $(1901)_{10} = (11101101101)_{2}$