Exercices - Les systèmes de numérotation

Exercice 1

Convertissez les nombres suivants du système décimal au système binaire :

• 125
• 85
• 33
• 45

Exercice 2

Convertissez les nombres suivants du système binaire au système décimal puis au système octal :

• 1001
• 11010011

Exercice 3

Convertissez les nombres suivants du système octal au système hexadécimal :

• 76
• 157
• 32

Correction de l'exercice 1

Pour convertir un nombre décimal en nombre binaire, il faut appliquer la méthode de la division euclidienne répétitive jusqu'à l'obtention d'un résultat égal à 0.

Ainsi, nous obtenons :

• le nombre 125 dans le système décimal sera 1111101 dans le système binaire, tel que :

• le nombre 85 dans le système décimal sera 1010101 dans le système binaire, tel que :

• le nombre 33 dans le système décimal sera 100001 dans le système binaire, tel que :

• le nombre 45 dans le système décimal sera 101101 dans le système binaire, tel que :

Correction de l'exercice 2

Pour convertir un nombre binaire en un nombre décimal, il est nécessaire d'utiliser la méthode des puissances de 2, comme le décrit la méthode ci-dessous :

1. Écrivez le nombre binaire.
2. Multipliez chaque chiffre binaire 0 ou 1 par 2^^{numéro position}
3. Additionnez les résultats de chaque multiplication pour obtenir l'équivalent en décimal du nombre binaire.

Ainsi :

• le nombre binaire 1001 = 9 dans le système décimal puisque \( 1 \times 2^{4} + 0 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} \) = 9
• le nombre 11010011 = 211 dans le système décimal puisque  \( 1 \times 2^{8} + 1 \times 2^{7} + 0 \times 2^{6} + 1 \times 2^{5} + 0 \times 2^{4} + 0 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} \) = 128 + 64 + 16 + 2 + 1 = 211.

Pour convertir un nombre décimal en un nombre octal, il faut appliquer la méthode de la division euclidienne répétitive jusqu'à ce que le résultat soit égal à 0.

Ainsi, nous obtenons :

• le nombre 9 dans le système décimal sera 11 dans le système octal, tel que :

• le nombre 211 dans le système décimal sera donc 323 dans le système octal, tel que :

Correction de l'exercice 3

Pour convertir un nombre exprimé dans le système octal vers le système hexadécimal, vous pouvez d'abord le convertir dans le système décimal, puis dans le système hexadécimal. Vous pouvez également le convertir directement en binaire, puis regrouper par bloc de quatre chiffres à partir de la droite pour faciliter la conversion en hexadécimal à l'aide de la table suivante:

Il est à noter que chaque digit du système octal correspond exactement à 3 bits en binaire, comme l'indique la table suivante :

Ainsi, nous retrouvons :

• le nombre 76 dans le système octal = 3E dans le système hexadécimal tel que :

Comme vous pouvez le voir, deux zéros ont été ajoutés à gauche de notre mot binaire pour le compléter en quatre chiffres. Ces zéros n'ont aucune valeur mathématique, si ce n'est de faciliter notre conversion du système binaire vers le système hexadécimal.

• le nombre 157 dans le système octal = 6F dans le système hexadécimal tel que :

• le nombre 32 dans le système octal = 1A dans le système hexadécimal tel que :

Comme vous pouvez le voir, trois zéros ont été ajoutés à gauche de notre dernier mot binaire afin de le compléter et de le transformer en mot de quatre chiffres. Nous tenons à rappeler que ces zéros n'ont aucune valeur mathématique, si ce n'est de faciliter notre conversion du système binaire vers le système hexadécimal et de vous permettre de comprendre la technique de conversion basée sur le système binaire.