Le théorème de Norton et Thévenin

Les deux théorèmes proposés au débout par le scientifique allemand Hermann von Helmholtz en 1853 puis démontrés par d'autres physiciens sont une conséquence indirecte de l'application directe de la théorie de superposition. En effet, chacun de ces deux théorèmes stipule que tout circuit électrique linéaire composé d'une source de tension nommé E et de plusieurs composants passifs peut être simplifié à l'équivalent d'un simple générateur de courant ou de tension monté avec une charge R_C en série ou en parallèle.

Le théorème de Norton

Ce premier théorème; appelé le théorème de Norton, stipule que tout circuit électrique, qu'il soit simple ou complexe, peut être modélisé sous forme d'un circuit équivalent composé d'une charge R_n  et d'une source de courant montés en parallèle dont l'intensité du courant I_n est égale au courant du court-circuit. Cette charge R_n n'est tout simplement que la valeur équivalente vue des deux bornes de notre dipôle de Norton lorsque toutes les sources d'énergie sont éteintes.

Le principe du théorème de Norton

Pour simplifier un montage électrique et le modéliser à une source de courant I_n et à une résistance R_n montées en parallèle, il est demandé de respecter les deux règles ci-dessous:

• le courant I_n est l'équivalent du courant qui circule entre les deux bornes A et B lorsque la charge R_c est supprimée et ces deux dernières sont court-circuitées,
• et la charge R_c est la valeur résistive équivalente de la charge de notre circuit lorsque la charge R_c est supprimée et toutes les sources d'alimentation sont rendues inactives (autrement dit, court-circuitées).

Montage avec une source de tension (exemple d'application)

Pour vous expliquer le théorème de Norton, nous allons procéder à la simplification du schéma électrique ci-dessous composé d'une source de tension E₁ et de plusieurs résistances reliées à une charge R_c :

Pour le transformer en un générateur de Norton, nous allons déterminer dans un premier temps la valeur I_n ensuite la valeur de la résistance équivalente du générateur R_n. Pour ce fait, nous allons procéder comme suit:

1. Calculons la valeur \(I_{n}\) de notre générateur Norton. Pour cela, nous allons supprimer la résistance R_c et ensuite calculer la valeur du courant \( I_{cc} = I_{n} \) qui circule dans notre montage. Le schéma ci-dessous nous montre comment procéder :

Ce qui nous donne :

\[ I_{cc} = I_{n} = \frac{E_{1}}{(R1+R4+R2)} \]

2. Déterminons maintenant la valeur de la résistance R_n de notre générateur. Pour cela, il est demandé de court-circuiter toutes les sources d'alimentation de notre montage et de supprimer la charge R_c pour déterminer la valeur de la R_n. A ce stade, notre montage revient à cette modélisation ci-dessous :

3. Maintenant que notre montage est isolé, nous pouvons procéder au calcul de la résistance équivalente résultante R_n étape par étape. Pour cela, calculons la R_eq1 pour les deux premières résistances R₁, R₂ que nous constatons qu'elles sont montées en série d'après le schéma ci-dessous. Soit donc :

\[ R_{eq1} = R_{1}+R_{2} \] Le schéma ci-dessous nous montre cela :

4. Calculons ensuite la résistance équivalente résultante des deux résistantes R_eq1 et R₃ montées en parallèles : \( R_{eq2} = (R_{eq1}*R_{3})/(R_{eq1} + R_{3}) \). Le montage ci-dessous nous explique cela :

5. Ainsi, nous pouvons maintenant déterminer la valeur de la résistance équivalente R_n qui résulte des deux résistances R_eq2 et R₄ tel que : \( R_{eq3} = R_{eq2} + R_{4} \). Le schéma ci-dessous nous explique cela :

6. Ce qui nous permet d'obtenir la valeur de la résistance équivalente \(R_{n} \) pour notre générateur de Norton telle que :

\[ R_{n} = R_{eq2} + R_{4} \]

\[ R_{n} = (R_{eq1}*R_{3})/(R_{eq1} + R_{3}) + R_{4} \]

\[ R_{n} = ((R_{1}+R_{2})*R_{3})/((R_{1}+R_{2}) + R_{3}) + R_{4} \]

Résumant maintenant ce que nous avons modélisé. Notre générateur de Norton de notre montage sera comme suit :

tel que :

• \( I_{n} = \frac{E_{1}}{(R1+R4+R2)} \)
• \( R_{n} = ((R_{1}+R_{2})*R_{3})/((R_{1}+R_{2}) + R_{3}) + R_{4} \)

Le théorème de Thévenin

Le théorème de Thévenin établit que tout circuit électrique, qu'il soit élémentaire ou non, qu'il est possible de le modéliser sous forme d'un circuit ééquivalent composé d'un générateur de tension E_Th monté en série avec une charge équivalente R_Th. Cette charge R_Th, dans la modélisation ci-dessous, correspond à la valeur équivalente vue entre les deux bornes de notre dipôle de Thévenin lorsque toutes les sources d'énergie sont éteintes.

Le principe du théorème de Thévenin

Pour modéliser un montage électrique et le transformer en un générateur de Thévenin composé d'une source de tension E_Th montée en série avec une résistance R_Th. Il est de déterminer de calculer :

• la tension U_Th équivalente entre les deux bornes A et B, calculée lorsque la charge R_c est supprimée. Autrement dit, elle ne sera remplacée par aucun composant (soit l'équivalent d'un interrupteur ouvert),
• et la charge R_Th ; la valeur équivalente de la charge résistive de notre circuit global lorsque la charge R_c est supprimée et lorsque toutes les sources d'alimentation sont rendues inactives (autrement dit, court-circuitées).

Montage avec une source de tension (exemple d'application)

Pour vous expliquer le théorème de Thévenin, nous allons simplifier le montage électrique ci-dessous composé d'une source de tension E₁ et de plusieurs résistances connectées à une charge R_c :

Procédons à la simplification de ce montage maintenant étape par étape comme suit :

1. Calculons la valeur \(E_{Th}\) de notre générateur de Thévenin. Soit la valeur de la tension entre les deux points A et B. Or, le courant \( I_{3} \) devient null puisque la résistance \( R_{3} \) devient non connecté côté point A. Ce qui nous ramène à la valeur \( U_{Th} = U_{R4} \). En appliquant la loi des mailles ou le principe d'un diviseur de tension, nous pouvons calculer la valeur \( U_{R4} \) telle que :

\[U_{R4} = U_{Th} = \frac{R_{4}}{R_{1}+R_{2}+R_{4}+R_{5}} * E_{1} \]

2. Calculons ensuite la valeur de la résistance équivalente \(R_{Th}\); Pour cela, déconnectons la charge R_c de notre montage et remplaçons toutes nos sources d'alimentation par un court-circuit; soit dans notre cas E₁. Ensuite détermons la charge équivalente R_Th entre les deux points A et B connectés à la charge R_c. L'image ci-dessous nous montre comment procéder :

3. Maintenant que notre montage est isolé, procédons à sa simplification en calculant la résistance équivalente résultante R_Th étape par étape. Pour cela, calculons la R_eq1 pour les trois premières résistances R₁, R₂ et R₅ montées en série. Soit donc :

\[ R_{eq1} = R_{1}+R_{2} + R_{5} \] Le schéma ci-dessous nous détaille cette première simplification :

4. Calculons ensuite la valeur de la résistance équivalente résultante des deux résitantes R_eq1 et R₄ tel que : \( R_{eq2} = (R_{eq1}*R_{4})/(R_{eq1} + R_{4}) \). Le schéma ci-dessous nous détaille cela :

5. Maintenant, calculons la résistance équivalente résultante de notre montage isolé R_eq3 résultante de la résistance équivalente R_eq2 et R₃ tel que : \( R_{eq3} = R_{eq2} + R_{3} \). Le schéma ci-dessous nous explique cette dernière simplification de notre montage :

6. Ce qui nous donne finalement une résistance équivalente \(R_{eq} \), qui n'est que la résistance \(R_{Th} \) recherchée pour notre montage simplifié telle que :

\[ R_{Th} = R_{eq3} = R_{eq2} + R_{3} \]

\[ R_{Th} = R_{eq3} = (R_{eq1}*R_{4})/(R_{eq1} + R_{4}) + R_{3} \]

\[ R_{Th} = R_{eq3} = ((R_{1}+R_{2} + R_{5})*R_{4})/(R_{1}+R_{2} + R_{5} + R_{4}) + R_{3} \]

Soit donc notre générateur de Thévenin est l'équivalent du montage ci-dessous :

tel que :

• \(U_{Th} = \frac{R_{4}}{R_{1}+R_{2}+R_{4}+R_{5}} * E_{1} \)
• \( R_{Th} = R_{3} + ((R_{1}+R_{2} + R_{5})*R_{4})/(R_{1}+R_{2} + R_{5} + R_{4}) \)

Ainsi, en application du théorème de Thévinin, nous avons simplifié notre schéma complexe composé de plusieurs dipôles résistifs et d'une source de tension en une source de tension connectée U_Th en série à une charge R_Th

L'équivalence

Ces deux théorèmes permettent de simplifier un circuit électrique en le réduisant partiellement ou totalement, si cela s'avère possible, à un circuit équivalent plus simple composé uniquement de deux éléments; une source de tension ou de courant et une charge R. Ces deux théorèmes sont totalement complémentaires. Et ils nous permettent de simplifier le calcul des courants et tensions dans un circuit électrique en ramenant une partie de notre montage vers un générateur de type Norton ou Thévenin.

Ainsi, en le réduisant à une source de courant I avec une charge R montée en parallèle comme le stipule le théorème de Norton, ou à une source de tension U montée en série avec une charge R  comme le stipule le théorème de Thévenin, nous serons dispensés d'analyser la totalité de notre circuit électrique complexe et il sera ramené à une version ou une modélisation plus simple.